onderwijs, wiskunde en de toekomst
Inspiratie nodig? Voor de volgende vakken heb ik de verslagen online gezet:
| LERSLC01X | Vakdidactiek |
| WISH1B04X | Vakdidactiek |
| WISC2102X | Wiskunde & Cultuur A |
| WISC2301X | Wiskunde & Kunst |
| WISH2C01X | Vakdidactiek |
| WISVM201X |
Geogebra bestanden (zip-file) |
| LERADS01X | Activerende didactiek |
| WISCG01X | Wiskunde & Geschiedenis |
| WISH4101X | Vakdidactiek 4 |
| WISAFS04X | Afstudeeronderzoek |
Voor mijn afstudeeronderzoek heb ik gekeken naar de vraag: werkt Khan Academy? Netter geformuleerd: wat is de invloed van Khan Academy op de (algebraische) vaardigheden van mijn leerlingen?
Voor dat onderzoek heb ik allerlei bronnen geraadpleegd, data verzameld en geanalyseerd. Het onderzoek kostte me 5 maanden. Bloed, zweet en tranen. Aan het begin van dit schooljaar heb ik al mijn klassen (onderbouw, mavo, havo, vwo) een account laten aanmaken op Khan Academy. Vol verwachting klopte mijn hart: hoe zouden de leerlingen reageren? Enthousiast? Verveeld? “Nog meer huiswerk”?
Na één week zijn de eerste resultaten schokkend. Sommige leerlingen zijn ronduit verslaafd. De opdracht voor mijn V2-klas was: oefen iedere week minimaal 10 minuten. Hieronder het resultaat:
Een paar leerlingen oefenen ongeveer het opgegeven aantal minuten. Een groot deel oefent onbewust meer. Sommige leerlingen hebben in één week tijd anderhalf tot twee uur geoefend. En twee leerlingen vallen op: meer dan 6 uur geoefend in 10 dagen!
Khan Academy, werkt het? Ik zou zeggen: probeer het uit!
Bij de toetsing van algebra in de tweede klas van het vmbo in het voortgezet onderwijs blijkt dat dit domein een struikelblok is voor veel leerlingen. Vermoed wordt dat deficiënties in algebra ontstaan in de eerste klas. Dit wordt bevestigd door de vaardighedentoetsen die aan het begin en einde van ieder leerjaar worden afgenomen.
Het Freudenthal Instituut heeft onderzoek gedaan naar het effect van een digitale interventie op de algebraïsche expertise (Bokhove & Drijvers, 2012). Daaruit bleek dat deze interventie een groot positief effect had op de algebraïsche expertise van de leerlingen. De vraag kan gesteld worden of eenzelfde effect zichtbaar wordt bij de leerlingen uit de eerste klas na het toepassen van een vergelijkbare digitale interventie. Hiervoor is gebruik gemaakt van de website www.khanacademy.org.
Hier kun je het onderzoeksverslag downloaden.
In dit onderzoek wordt het effect van Khan Academy op de ontwikkeling van algebraïsche vaardigheden van leerlingen uit de eerste klas van het vmbo beschreven. De onderzoeksvraag luidde welk effect het gebruik van Khan Academy heeft op de ontwikkeling op een aantal onderdelen van algebraïsche vaardigheden.
De concepten algebraïsche expertise, online leren, feedback en audiovisueel materiaal zijn de ruggengraat van dit onderzoek. De dataverzameling is drieledig: de resultaten van het proefwerk, een leerlingenenquête en de gegevens van de website zelf.
Uit de resultaten blijkt dat de ontwikkeling algebraïsche expertise bij de onderzoekgroep groter is dan die van de controlegroep. De leerlingen zijn overwegend positief over het gebruik van deze website. Er is een trend tussen het gebruik en de ontwikkeling van algebraïsche expertise.
Geadviseerd wordt om het gebruik van Khan Academy ook in andere domeinen te onderzoeken.
Weleens gehoord van een 31-toonsysteem? Nee? Logisch, het wordt bijna nooit gebruikt. Toch is het vreemd dat zo onbekend is, ook onder musici. En waarom zijn veel musici niet geïnteresseerd in wiskunde? Hieronder drie voorbeelden van hoe wiskunde en muziek met elkaar verweven zijn.
Het 31-toonsysteem is ontworpen in de 17e eeuw door Christiaan Huygens. Waarom? Is het 12-toonsysteem niet voldoende? Eeeh, dat ligt aan welk instrument je bespeelt. Bij een viool bijvoorbeeld is een 12-toonsysteem geen probleem. Bij een piano echter, hebben we een probleem: die klinkt vals. Vals? Ja, vals, onzuiver. Hoe komt dat?
Stel: iemand speelt piano en ik speel viool, zonder te luisteren naar wat de ander doet. We gaan beiden vanuit de centrale C (=C4) vier kwinten omhoog, dan kom je op de E6. Daarna gaan we weer twee octaven omlaag en komen we uit op de E4. Als je goed luistert klinkt dit vals. Hoe dit komt wordt mooi uitgelegd in de filmpjes van Jamier York.
Om het probleem met de imperfecte intervallen op te lossen heeft men de gelijkzwevende stemming uitgevonden, hiermee worden de valse intervallen uitgesmeerd over de rest van het octaaf waardoor alle tonen nog maar een klein beetje vals klinken.
Christiaan Huygens is op zoek gegaan naar een betere oplossing: het 31-toonsysteem. Hoe klinkt dat? Stukken beter :-). Dit orgel is ontworpen door Adriaan Fokker en dat klinkt zo:
Waarom dit wiskundig stukken beter is kun je lezen in de scriptie van Matthias den Hartog. Hij legt uit hoeveel tonen je nodig hebt om de beste stemming te krijgen.
Met Fourieranalyse kun je bepalen uit welke tonen een muziekstuk bestaat. Wat dat dan weer met Beethoven te maken heeft hoor je in dit filmpje:
En als je meer wilt weten:
Als er iemand zich bewust was van getallen bij het componeren van zijn muziek, dan is het Bach wel. Een bekend voorbeeld is de Matthäus-Passion.
Minder bekend is het belang van de wiskunde in Das wohltemperierte Klavier:
Als je meer wilt weten over wiskunde in de kunst is het boek “Godel, Escher, Bach” zeer de moeite waard. Over wiskunde en muziek is op internet nog veel meer te vinden. Dus ik sluit af met een citaat van Stravinsky:
“I am not saying that composers think in equations or charts of numbers, nor are those things more able to symbolize music. But the way composers think − the way I think − is, it seems to me, not very different from mathematical thinking.‘’ Bron