Muziek = toegepaste wiskunde

Weleens gehoord van een 31-toonsysteem? Nee? Logisch, het wordt bijna nooit gebruikt. Toch is het vreemd dat zo onbekend is, ook onder musici. En waarom zijn veel musici niet geïnteresseerd in wiskunde? Hieronder drie voorbeelden van hoe wiskunde en muziek met elkaar verweven zijn.

Het 31-toonsysteem

Het 31-toonsysteem is ontworpen in de 17e eeuw door Christiaan Huygens. Waarom? Is het 12-toonsysteem niet voldoende? Eeeh, dat ligt aan welk instrument je bespeelt. Bij een viool bijvoorbeeld is een 12-toonsysteem geen probleem. Bij een piano echter, hebben we een probleem: die klinkt vals. Vals? Ja, vals, onzuiver. Hoe komt dat?

Stel: iemand speelt piano en ik speel viool, zonder te luisteren naar wat de ander doet. We gaan beiden vanuit de centrale C (=C4) vier kwinten omhoog, dan kom je op de E6. Daarna gaan we weer twee octaven omlaag en komen we uit op de E4. Als je goed luistert klinkt dit vals. Hoe dit komt wordt mooi uitgelegd in de filmpjes van Jamier York.

Om het probleem met de imperfecte intervallen op te lossen heeft men de gelijkzwevende stemming uitgevonden, hiermee worden de valse intervallen uitgesmeerd over de rest van het octaaf waardoor alle tonen nog maar een klein beetje vals klinken.

Christiaan Huygens is op zoek gegaan naar een betere oplossing: het 31-toonsysteem. Hoe klinkt dat? Stukken beter :-). Dit orgel is ontworpen door Adriaan Fokker en dat klinkt zo:

Waarom dit wiskundig stukken beter is kun je lezen in de scriptie van Matthias den Hartog. Hij legt uit hoeveel tonen je nodig hebt om de beste stemming te krijgen.

Beethoven en Fourier

Met Fourieranalyse kun je bepalen uit welke tonen een muziekstuk bestaat. Wat dat dan weer met Beethoven te maken heeft hoor je in dit filmpje:

En als je meer wilt weten:

Bach

Als er iemand zich bewust was van getallen bij het componeren van zijn muziek, dan is het Bach wel. Een bekend voorbeeld is de Matthäus-Passion.

Minder bekend is het belang van de wiskunde in Das wohltemperierte Klavier:

Meer weten

Als je meer wilt weten over wiskunde in de kunst is het boek “Godel, Escher, Bach” zeer de moeite waard. Over wiskunde en muziek is op internet nog veel meer te vinden. Dus ik sluit af met een citaat van Stravinsky:

I am not saying that composers think in equations or charts of numbers, nor are those things more able to symbolize music. But the way composers think − the way I think − is, it seems to me, not very different from mathematical thinking.‘’ Bron