Onderzoek naar het effect van Khan Academy

Bij de toetsing van algebra in de tweede klas van het vmbo in het voortgezet onderwijs blijkt dat dit domein een struikelblok is voor veel leerlingen. Vermoed wordt dat deficiënties in algebra ontstaan in de eerste klas. Dit wordt bevestigd door de vaardighedentoetsen die aan het begin en einde van ieder leerjaar worden afgenomen.

Het Freudenthal Instituut heeft onderzoek gedaan naar het effect van een digitale interventie op de algebraïsche expertise (Bokhove & Drijvers, 2012). Daaruit bleek dat deze interventie een groot positief effect had op de algebraïsche expertise van de leerlingen. De vraag kan gesteld worden of eenzelfde effect zichtbaar wordt bij de leerlingen uit de eerste klas na het toepassen van een vergelijkbare digitale interventie. Hiervoor is gebruik gemaakt van de website www.khanacademy.org.

Hier kun je het onderzoeksverslag downloaden.

Samenvatting van dit onderzoek

Khan Academy progressIn dit onderzoek wordt het effect van Khan Academy op de ontwikkeling van algebraïsche vaardigheden van leerlingen uit de eerste klas van het vmbo beschreven. De onderzoeksvraag luidde welk effect het gebruik van Khan Academy heeft op de ontwikkeling op een aantal onderdelen van algebraïsche vaardigheden.

De concepten algebraïsche expertise, online leren, feedback en audiovisueel materiaal zijn de ruggengraat van dit onderzoek. De dataverzameling is drieledig: de resultaten van het proefwerk, een leerlingenenquête en de gegevens van de website zelf.

Uit de resultaten blijkt dat de ontwikkeling algebraïsche expertise bij de onderzoekgroep groter is dan die van de controlegroep. De leerlingen zijn overwegend positief over het gebruik van deze website. Er is een trend tussen het gebruik en de ontwikkeling van algebraïsche expertise.

Geadviseerd wordt om het gebruik van Khan Academy ook in andere domeinen te onderzoeken.

Muziek = toegepaste wiskunde

Weleens gehoord van een 31-toonsysteem? Nee? Logisch, het wordt bijna nooit gebruikt. Toch is het vreemd dat zo onbekend is, ook onder musici. En waarom zijn veel musici niet geïnteresseerd in wiskunde? Hieronder drie voorbeelden van hoe wiskunde en muziek met elkaar verweven zijn.

Het 31-toonsysteem

Het 31-toonsysteem is ontworpen in de 17e eeuw door Christiaan Huygens. Waarom? Is het 12-toonsysteem niet voldoende? Eeeh, dat ligt aan welk instrument je bespeelt. Bij een viool bijvoorbeeld is een 12-toonsysteem geen probleem. Bij een piano echter, hebben we een probleem: die klinkt vals. Vals? Ja, vals, onzuiver. Hoe komt dat?

Stel: iemand speelt piano en ik speel viool, zonder te luisteren naar wat de ander doet. We gaan beiden vanuit de centrale C (=C4) vier kwinten omhoog, dan kom je op de E6. Daarna gaan we weer twee octaven omlaag en komen we uit op de E4. Als je goed luistert klinkt dit vals. Hoe dit komt wordt mooi uitgelegd in de filmpjes van Jamier York.

Om het probleem met de imperfecte intervallen op te lossen heeft men de gelijkzwevende stemming uitgevonden, hiermee worden de valse intervallen uitgesmeerd over de rest van het octaaf waardoor alle tonen nog maar een klein beetje vals klinken.

Christiaan Huygens is op zoek gegaan naar een betere oplossing: het 31-toonsysteem. Hoe klinkt dat? Stukken beter :-). Dit orgel is ontworpen door Adriaan Fokker en dat klinkt zo:

Waarom dit wiskundig stukken beter is kun je lezen in de scriptie van Matthias den Hartog. Hij legt uit hoeveel tonen je nodig hebt om de beste stemming te krijgen.

Beethoven en Fourier

Met Fourieranalyse kun je bepalen uit welke tonen een muziekstuk bestaat. Wat dat dan weer met Beethoven te maken heeft hoor je in dit filmpje:

En als je meer wilt weten:

Bach

Als er iemand zich bewust was van getallen bij het componeren van zijn muziek, dan is het Bach wel. Een bekend voorbeeld is de Matthäus-Passion.

Minder bekend is het belang van de wiskunde in Das wohltemperierte Klavier:

Meer weten

Als je meer wilt weten over wiskunde in de kunst is het boek “Godel, Escher, Bach” zeer de moeite waard. Over wiskunde en muziek is op internet nog veel meer te vinden. Dus ik sluit af met een citaat van Stravinsky:

I am not saying that composers think in equations or charts of numbers, nor are those things more able to symbolize music. But the way composers think − the way I think − is, it seems to me, not very different from mathematical thinking.‘’ Bron

Differentiëren in de wiskundeles

Differentiëren in de wiskundeles, hoe doe je dat?

Over het nut van differentiëren in de les is al veel geschreven en voor meer informatie over nut en noodzaak van differentiëren verwijs ik naar de artikelen van SchoolaanzetKPCGroep en Delta. Hoe pak je zoiets praktisch aan? Bij differentiëren komen allerlei lastige vragen voorbij waarop je een antwoord moet hebben voordat je verder kunt.

Wie zijn je leerlingen?

Ik geef wiskunde aan alle 1e-jaars vmbo-ers, drie klassen.

Hoe heb je de leerlingen ingeschaald?

Alle 1e-klassers heb ik opgedeeld in niveaugroepen: groen (20% van de zwakste leerlingen), geel (de middenmoot, 60%) en blauw (de 20 procent leerlingen die meer uitdaging nodig hebben).

Waarop baseer je de indeling?

Op een combinatie van rapportcijfers en/of cito-scores.

Hoe weten de leerlingen in welke groep ze zitten?

Dat staat op de klassenplattegrond.

Zitten leerlingen met gelijke niveaus bij elkaar?

Nee, ik heb er bewust voor gekozen om de niveaus te mengen.

Hoe zorg je ervoor dat de sterke leerlingen niet ver vooruit lopen op de rest van de klas?

De leerlingen die snel door de stof heen gaan, geef ik de lastigere opdrachten. Of ik laat ze doorwerken met de havo-opdrachten.

Als je de sterke leerlingen moeilijkere opdrachten geef, geef je de zwakke leerlingen dan makkelijker opdrachten?

Nee. De zwakke leerlingen zullen ook het basisniveau moeten halen.

Hoe halen de zwakke leerlingen het gewenste niveau?

De zwakke leerlingen krijgen meer huiswerk mee. Uiteindelijk maken ze dezelfde opgaven als de middenmoters.

Hoe bespreek je de opdrachten klassikaal als alle leerlingen verschillende opdrachten maken?

Er zit een grote overlap in de opdrachten van de zwakke groep (groen) en de middenmoters (geel). Ik bespreek opdrachten die representatief zijn voor de paragraaf.

Differentieer je ook in huiswerk?

Groen Geel Blauw
Maken in de les §6.2: opdr. 30, 31, 32 §6.2: opdr. 30, 31, 32 §6.2: opdr. 31, 34, 35
Huiswerk §6.2: opdr. 33, 34, 35, 36 §6.2: opdr. 35, 36 §6.2: opdr. 37, 38, 41

Ja. Wij geven huiswerk op in SOMtoday; daarin zet ik voor elke groep wat het huiswerk is.

Hoe zit het met toetsen?

De toetsen worden afgenomen op één niveau. Wat de toetsen betreft is daarbij de vraag: haalt de leerling het vereiste basisniveau?

Wat vinden de leerlingen ervan?

Ik had verwacht dat de leerlingen zich gelabeld zouden voelen. Dat bleek gelukkig niet waar te zijn; leerlingen hebben het systeem snel door en vinden het vanzelfsprekend dat niet iedereen dezelfde opdrachten krijgt. Overigens zijn de ouders (niet onbelangrijk!) óók tevredener.